Phan Thị Hà Dương

 

0. Tôi gấp cuốn Lý thuyết số sơ cấp khi vừa đi hết trang cuối cùng của Chương 0.

1. Vậy là

chưa bước vào thế giới chứa những con số

hay

vừa xuyên qua vũ trụ của các tập hợp.

là

chưa bắt đầu Chương 1 với các khái niệm số học quen thuộc với nhiều sinh viên

hay

đã lặn sâu vào cội nguồn sâu xa của không chỉ lý thuyết số mà là toàn bộ toán học nơi kết tinh bao suy tư của những nhà toán học và triết học.

2. Tác giả viết những bạn muốn thực hành làm về lý thuyết số có thể bỏ qua Chương 0.

0 – số không – đã từng có một thời chúng ta học nó không phải là số tự nhiên.

Ta có cần số 0 trong tập số tự nhiên hay không?

cũng như ta có cần Chương 0 trong cuốn sách về các con số hay không?

Tác giả có thể bắt đầu cuốn sách bằng Chương 1, cũng như bao cuốn sách khác, trong đó có cả cuốn sách nổi tiếng mà tác giả tham khảo. Vậy viết Chương 0 ích gì?

Nhưng như trong cuộc đời cái dường như vô ích vì không rõ ứng dụng, như trong một bài thơ, dấu ngoặc đơn dường như không cần thiết vì nếu bỏ đi không ảnh hưởng nội dung, thì trong một cuốn sách sự tồn tại của một Chương 0 dường như không cần thiết với người đọc – luôn phải có một lý do. Và lý do đó chính là sự cần thiết của người viết. Viết để truyền tải những suy tư, những tâm huyết, những chia sẻ, lắng đọng từ bao tháng năm. Viết để tạo dựng nên một nền tảng cho không chỉ các chương sách khác mà xa hơn thế. Sự dường như không cần thiết về mặt ứng dụng lại chính là sự cần thiết về mặt tư tưởng.

3. Một Chương sách toán tiếng Việt viết về việc xây dựng các con số từ lý thuyết tập hợp, rõ ràng, chặt chẽ, từng bước từng bước một.

Quá trình xây dựng đó không chỉ cho bạn các con số, mà qua đó bạn hiểu rằng một lý thuyết cần xây dựng ra sao, bạn hiểu rằng việc lựa chọn một hệ tiên đề quan trọng đến thế nào. Rằng nó phải vừa vặn để vẫn hiển nhiên mà vẫn đầy đủ.

Bạn biết được vì sao cái gọi là nghịch lý Russell thực ra không phải là nghịch lý, mà vì nếu lấy tất cả các tập x không chứa x thì đó không phải là một tập hợp, rằng phải có một số tiên đề nào đó quy định cái gì là một tập hợp, như hợp của hai tập hợp là một tập hợp, và điều đó chẳng hiển nhiên chút nào.

Bạn hiểu ra rằng cái cách định nghĩa các con số tự nhiên như lực lượng của các tập hợp là một cách ngây thơ, còn chặt chẽ ra ta phải đi từ một vũ trụ các tập hợp, và số 0 - số 0 huyền bí sẽ được định nghĩa tường minh ra sao.

4. Suốt mấy ngày qua cuốn sách theo tôi đến hàng gội đầu, quán Café, balcon hè phố, và muôn nơi nữa, vì nó đã đưa tôi về trường Đại học Tổng hợp ngày xưa. Tôi gặp lại giây phút thán phục của mình khi xưa lúc nghe thầy Mai Thúc Ngỗi giảng về lát cắt Dedekind – sao có thể định nghĩa con số qua lát cắt, tinh tuý và chặt chẽ khôn xiết. Tôi gặp lại sự khải hoàn khi nghe thầy Huỳnh Mùi và thầy Nguyễn Hữu Việt Hưng giảng về nhóm, vành, trường và rồi phạm trù – sao có thể trừu tượng của trừu tượng đến thế – chính nơi đây ta phải nhắm mắt lại để lạc vào một tầng mới của siêu thế giới, và từ trên tầng cao ấy, rọi chiếu xuống từng thế giới riêng biệt của nhóm, vành, trường, từ trên cao ấy hiểu được cái phổ quát nghĩa là gì. Tôi gặp lại niềm vui thăm thẳm khi đi sâu mãi vào cách chứng minh quy nạp như khi xưa tôi đọc cuốn sách Logic Toán của Gs. Phan Đình Diệu – bố tôi – về tính đệ qui, về chứng minh tường minh định lý Gödel; và cũng như khi tôi đọc bài viết của bố tôi về tham vọng của Hilbert xây dựng toàn bộ lý thuyết toán học một cách thống nhất và đã bị phá vỡ bởi Gödel.

Vào những tháng ngày của tuổi mười tám đôi mươi ấy, các thầy giáo của tôi đã mở ra cho tôi thấy một bầu trời mới của toán học, đã cho tôi hiểu toán học phải là như thế. Là không chỉ học các kỹ thuật các mẹo mục để giải những bài toán mỗi ngày mỗi khó mỗi lắt léo; mà toán học là tư tưởng, là xây dựng nên những ngôn ngữ để biểu đạt các khái niệm. Toán học vừa giúp ta đi sâu đi sâu mãi trong suy tư và cũng giúp ta tưởng tượng mở rộng mở rộng mãi những kết nối.

5. Giữa cái thời khi ta nói nhiều với nhau về ứng dụng của các con số, viết một Chương sách về vũ trụ hỗn mang trước khi các con số ra đời có phải là mơ mộng quá không?

Và ai đây sẽ mơ mộng đọc?

Phải chăng, biết vậy, mà tác giả đã viết Chương 0 với những dẫn giải thật gần gũi, thật trìu mến, có những câu mà từng chữ như được nâng niu, và uyển chuyển "Ta không tìm cách định nghĩa tập hợp trên cơ sở một cái gì khác nữa mà chỉ công nhận các tập hợp là những gì cho trước thoả mãn một số tính chất có vẻ đủ hiển nhiên để chúng ta công nhận là hiển nhiên."

6. Có lẽ rằng tôi sẽ không trả lời được câu hỏi "tôi đã đọc lý thuyết số chưa", nhưng có một điều tôi cảm nhận rõ, đó là mình đang có trên tay một vẻ đẹp thuần khiết.

 

Cuốn Lý thuyết số sơ cấp do Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán hợp tác với Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội xuất bản. Đây là một công trình tâm huyết của Giáo sư Ngô Bảo Châu và Tiến sĩ Đỗ Việt Cường.