Danh Ngôn

Nếu quí vị cho rằng giáo dục là tốn kém, xin hãy thử sự dốt nát xem sao!

If you think education is expensive, try ignorance!

Derek Bok (1930-). Hiệu trưởng Trường Đại học Harvard. Trên cột báo của Ann Landers

Nếu giáo dục được coi trọng như một bảo vật thì văn hóa không bao giờ tiêu vong.

Education is a treasure, and culture never dies.

Petronius: Satyricon

Tự do có thể được an toàn khi Quyền bầu cử được Giáo dục soi sáng.

Liberty can be safe only when Suffrage is illuminated by Education.

James H. Garfield, Maxims, 1880

Ban biên tập

Địa chỉ liên lạc:

1. Thơ

tho.vanviet.vd@gmail.com

2. Văn

vanviet.van14@gmail.com

3. Nghiên cứu Phê Bình

vanviet.ncpb@gmail.com

4. Vấn đề hôm nay

vanviet.vdhn1@gmail.com

5. Thư bạn đọc

vanviet.tbd14@gmail.com

6. Tư liệu

vanviet.tulieu@gmail.com

7. Văn học Miền Nam 54-75

vanhocmiennam5475@gmail.com

Tra cứu theo tên tác giả

Minh triết phương Tây (kỳ 26)

Bertrand Russell

Nam Dao Nguyễn Mạnh Hùng chuyển ngữ

Từ triết thuyết Duy lợi (tiếp theo)

Ở Pháp, phong trào Bách Khoa Toàn Thư có người truyền thừa là Auguste Comte (1798-1857). Chia sẻ với nhóm triết gia Cực đoan về niềm tin khoa học và sự đối đầu với những tôn giáo, ông thiết lập bảng phân loại khoa học, bắt đầu là Toán học rồi lần lượt cứ thế đến khoa học xã hội nhân văn. Tương tự như những triết gia Anh, ông chống khuynh hướng Siêu hình, nhưng như họ, ông biết không nhiểu về trường phái Lý tưởng ở Đức. Ông nhấn mạnh rằng ta phải bắt đầu cuộc truy lùng sự thật bằng kinh nghiệm, tránh tìm hiểu mặt sau một vấn đề, và ông gọi cách nhìn của mình là Triết học Thực chứng (positive philosophy).

clip_image002 Auguste Comte

Sinh trong một gia đình truyền thống được kính trọng ở Montpellier, cha ông là công chức, rất bảo hoàng và là một người Công giáo thuần thành. Nhưng Comte vượt quá tầm ảnh hưởng này, và khi học ở Trường Bách khoa (Polytechnique) Paris, ông bị đuổi học vì tham gia cuộc nổi loạn của sinh viên chống một giáo sư. Vào tuổi 26, ông xuất bản một sơ thảo về chủ nghĩa Thực chứng, rồi sau đó phát hành 6 cuốn “Luận giảng về Triết lý Thực chứng” (Course of Positive Philosophy) năm 1830. Trong mười năm cuối đời, Comte bỏ thời gian vào việc đề xuất một tôn giáo nhằm thay đổi những tín điều cũ. Thay vì Thượng Đế, ông đề cao nhân quần là tối thượng. Suốt đời, Comte yếu đuối và nhiều khi bị trầm cảm đến độ muốn tự tử. Ông sống bằng cách kèm học ở tư gia, được bạn bè trợ giúp, đặc biệt là J.S. Mill ở Anh. Nhưng Comte mất kiên nhẫn khi người đời không nhận ra thiên tài của mình, và cuối cùng tình bạn của Mill với ông cũng phai nhạt.

Triết lý của Comte có nhiều điểm tương đồng với tư duy Vico được ông nghiên cứu cặn kẽ. Theo Vico, ông đưa ra quan niệm về tính thiết yếu của lịch sử loài người. Từ nguồn này, ông cũng đề xuất những giai đoạn của sự phát triển trong lịch sử xã hội, với nhiều quan sát rút tỉa từ những huyền thoại Hy Lạp. Theo ông, xã hội tiến từ giai đoạn thần tính (theological) sang siêu hình (metaphysical), và sau thì đến giai đoạn xác quyết Thực chứng, đưa lịch sử đến đoạn cáo chung tốt đẹp. Ở điềm này, Vico thực tế hơn, nhận ra xã hội có thể từ chỗ văn minh hoàn thiện lại rơi về tình trạng hỗn mang man rợ. Thời kỳ tăm tối (Dark Ages) sau khi Đế chế Roman tan rã là một thí dụ.

Quay về Comte, ông cho rằng giai đoạn xác quyết của lịch sử văn minh là thời khoa học duy lý lên ngai. Lý thuyết ông nêu ra có những nét của Hegel, nhưng thật ra chỉ phiến diện. Từ giai đoạn phát triển này sang giai đoạn kia, không có xung động biện chứng, và Comte chỉ chia chung quan điểm với Hegel bằng sự kết thúc hoàn hảo của tiến trình lịch sử. Với Marx, cũng vậy. Và đây là thứ bệnh lý lạc quan của thế kỷ 19.

Triết lý Thực chứng của Comte cũng cho rằng sự phát triển của khoa học có ba giai đoạn. Trong mọi bộ môn, Toán học là môn không còn rào cản nào. Với Vật lý, một số khái niệm siêu hình còn, nhưng không nhiều, và ta hy vọng sẽ xóa hết được. Comte cố gắng xếp loại những khoa học một cách Lôgíc dễ hiểu, đúng là theo truyền thống những soạn giả của Bách Khoa Toàn Thư. Thật ra, xếp loại như vậy là một điều rất cũ, vốn xa xưa từ thời Aristotle. Mỗi bộ môn khoa học trong bảng xếp loại là bước mở cửa cho bộ môn đến sau, và cứ thế tiếp tục trong liệt kê của Comte, gồm Toán, Thiên văn, Vật lý, Hóa học, Sinh học và cuối cùng Xã hội học.

Quan trọng là Xã hội học mà Comte dùng để diễn tả điều mà Hume gọi là khoa học nhân văn. Với Comte, ông cho là chưa có Xã hội học, và ông là người đầu tiên khai phá bộ môn này. Đây là bộ môn phức tạp nhất trong bảng xếp loại, mặc dù chúng ta đều sống trong môi trường con người chứ không phải những định đề Toán trừu tượng. Sự thiết yếu của tính lịch sử, như Vico nhấn mạnh, lại được nêu rõ. Cách thế tồn tại của con người trong xã hội chính là trình tự của lịch sử.

Giai đoạn xác quyết cuối trong phát triển xã hội nung nấu trí tưởng tượng của Comte nhưng rồi ông cũng không khỏi đi giật lùi về những hệ thống tư duy hoang tưởng. Ở đây, dấu vết của ảnh hưởng Lý tưởng có, nhưng ta không biết nó đến với Comte như thế nào. Ở trong mỗi một giai đoạn phát triển có những khuynh hướng kết hợp. Chẳng hạn, trong giai đoạn thần tính, ta khởi đi từ những thuyết vật linh mà người thời hoang sơ gắn một ý nghĩa siêu nhiên cho những vật thể. Từ đó, con người tiến đến tín ngưỡng đa thần, rồi đơn thần. Khuynh hướng là ngày càng đi về một thể thống nhất lớn rộng hơn. Tương tự, trong khoa học, nhiều hiện tượng rời rạc được thâu tóm lại và được tổng hợp. Và trong xã hội, những mục tiêu cá thể dần dần được thay thế bằng mục tiêu của tập thể. Những điều ta vừa kể có dáng dấp Hegel. Xã hội nhân văn sẽ được lãnh đạo với quyền năng tinh thần và đạo đức của một thiểu số đặc tuyển, và quyền quản trị điều hành được giao phó cho những kỹ thuật gia chuyên trách. Cách thế này hẳn không xa mấy với nhà nước lý tưởng của Plato trong “Nền Cộng hòa”.

Về mặt đạo đức, hệ thống nói trên đòi hỏi cá nhân giao hòa ước vọng của mình vào với cộng đồng để cùng nhau thực hiện những tiến bộ tập thể. Đây là lý do để loại trừ những nguyện vọng cá nhân, một nét đặc thù của nền chính trị Mác-xít. Triết lý của Comte không nhận biết khả năng nội quan (introspection) trong tâm lý học, cho rằng quá trình tri thức không có cách nào để nhận biết chính nó. Nếu đây chỉ là đơn giản cách nói người biết là chỉ biết những gì mình biết thì còn nghe được. Nhưng nếu nói thế để loại trừ điều trên như một giả thiết siêu hình, Comte đã làm lệch lạc bản chất của sự diễn giải.

Một cách nhìn khác đến từ C.S. Pierce ( 1839-1914). Khác với Comte, ông bảo lưu giả thiết siêu hình và cho rằng tạo tác chúng là một hành trạng thiết yếu có nội dung Lôgíc của nó. Công trình của Pierce khá lẻ tẻ, nhưng gom lại thì rất nhiều. Ông thường đối mặt với những vấn đề khó khăn và đưa ra cách thức giải quyết mới mẻ nên rất khó mà tóm tắt được đóng góp của ông trên phương diện triết lý. Nhưng có thể nói, khó ngờ vực được gì khi ta bảo ông là kẻ trí tuệ độc sáng cuối thế kỷ 19, và là người có tư duy đặc sắc nhất trong số những triết gia Mỹ.

Pierce sinh ở Cambridge, Massachusetts. Cha ông là nhà toán học dạy ở Harvard, nơi ông theo học. Ngoại trừ một thời gian ngắn làm giảng viên, Pierce không có một vị trí nào trong đại học. Sau, ông làm cho Cơ quan thống kê đo đạc của chính phủ Mỹ, và bên cạnh những công việc khoa học, ông sản xuất một lượng đều đặn những nghiên cứu triết học trên nhiều vấn đề. Ông không có vị trí trong đại học, chính yếu là vì ông không bảo thủ như môi trường này đòi hỏi. Vì thế, ngoài một số nhỏ những bạn hữu ái mộ coi ông là một thiên tài, chẳng mấy ai hiểu ông. Và ông không chua chát vì không được biết đến, vì cách đặt mục tiêu của ông là ngoài tầm ngắm của người đời. Trong 25 năm cuối đời, ông sống trong nghèo khổ với sức khoẻ mong manh, nhưng tiếp tục làm việc đến phút cuối cùng.

clip_image004

Charles Sanders Peirce

Pierce được coi như cha dể của triết thuyết Thực dụng (pragmatism), nhưng điều này cũng nên xem lại. Theo phát ngôn của Pierce, lý thuyết này đến từ William James[1], và sự lẫn lộn tính danh có nhiều lý do. Ít nhất là Pierce khai triển rỏ ràng lý thuyết này với những trước tác về sau, trong khi James đã đi những bước đầu, và Pierce tìm cách chối bỏ lý thuyết mà James gán cho ông. Cũng vì thế mà Pierce gọi lý thuyết của ông là “thực dụng”, hy vọng với từ ngữ mới mẻ nhưng chẳng hấp dẫn mấy này khiến cho người ta nhận ra những khác biệt giữa ông và James.

Học thuyết Thực dụng trình bày trong những công trình ban đầu của Pierce dưới một hình thức cho phép đoán chừng rằng James có thể gợi hứng từ chúng. Pierce liên hệ định nghĩa sự thật với những luận giải về lý do thôi thúc và sự truy lùng tìm hiểu chúng. Tìm hiểu có, vì ta không thoả mản hoặc chẳng an lòng, và mục đích tìm hiểu là đi đến trạng thái tĩnh trong đó những tác động phiền toái được giải tỏa. Điều chấp nhận trong cuộc truy tìm này là sự thật phải tương thích với kiến thức ta hiện có. Nhưng đồng thời ta cũng không bao giờ có thể biết những sự kiện được thực chứng có thể làm ta thay đổi nhận định. Vì vậy, ta không thể hoàn toàn chắc chắn là đã không sai phạm. Từ đó, Pierce bảo sự thật là quan điểm cộng đồng công nhận. Điều này ở bề mặt thật phi lý. Nếu giả thử tất cả mọi người đều tin rằng hai lần 2 bằng 5, và đúng lúc đó trái đất sẽ bị huỷ diệt, thì cái sai trong tính toán vẫn chỉ có thể là sai. Đây khác xa với chuyện mọi người hàng xóm của ta tin vào điều gì đó, và thận trọng nên ta làm ra vẻ cùng chia sẻ niềm tin.

Nhưng những điều ta gọi là sự thật liên quan ra sao đến ta? Pierce cho rằng chúng phải có những hậu quả thiết thực và cho phép ta sau đó có những hành động, và nhận thức được điều phải làm một khi một tình huống tương tự lại xảy ra. Tóm gọn, phải biết những hậu quả mới có thể hành xử Thực dụng, cách thế nhìn có phần gần với ‘verum factum’[2], một công thức của Vico. Một cách nhìn khác sẽ được bàn sau là theo James, sự thật là điều ta có thể làm ra. Diễn ngôn này nhắc Protagoras, triết gia đã phát biểu rằng con người là thước đo của mọi sự, một quan niệm rất khác với tư duy của Pierce.

Trong thảo luận về mặt Lôgíc của những giả thiết, Pierce đã có một đóng góp cơ bản. Giả thiết được triết gia cho là kết quả của diễn dịch như phái Duy Lý đề xuất, hoặc là kết quả của phép qui nạp như phái Duy Nghiệm viện dẫn. Pierce cho rằng cả hai phái đều không có cái nhìn thấu suốt. Theo ông, giả thiết đến từ một thể loại Lôgíc thứ ba, rất khác, mà ông gọi là ‘abduction’[3]. Nó khiến ta có khuynh hướng chấp nhận một giả thiết ‘cứu vãn hiện tượng’. Chuyện tư duy thế nào cho khớp với hiện tượng quan sát là do nhu cấu diễn dịch, nhưng chấp nhận giả thiết đó lại không phải chỉ thế.

Giống như cha ông, Pierce là một nhà toán học tài ba và có đóng góp quan trọng trong bộ môn Lôgíc biểu tượng (symbolic logic). Một trong số đó là ông phát kiến ra phương pháp xác định giá trị sự thật (truth-value) của một công thức phức hợp, phương pháp được những nhà Lôgíc học sau này xử dụng. Ông cũng tạo ra những tương quan Lôgíc mới.

Pierce dùng rất nhiều đồ hình để biện giải nhưng những qui tắc ông đề ra khá phức tạp và không được phổ cập. Ông nhấn mạnh những khía cạnh lý thú của lý luận toán học mà ông cho là không được quan tâm đúng mức, và sự quan trọng của cách cấu tạo những chứng minh toán học. Pierce không chỉ nắm bắt toán học và những khai triển khoa học của thời đại ông mà còn hiểu rõ lịch sử khoa học và triết học. Theo ông, khoa học giả định một cơ sở siêu hình, và siêu hình mà ông xây dựng dựa trên những quan niệm về hiện thực theo Duns Scotus trong trường phái Kinh Viện. Thực ụng chủ nghĩa và Hiện thực Kinh viện đối với ông là tay trong tay ngoài. Dẫu có thế hay không, Thực dụng theo Pierce khác xa với Thực dụng do James đề xướng.

clip_image006 William James

Trong khi còn sống, Pierce rất ít ảnh hưởng, và thuyết Thực Dụng được coi như một triết lý là qua cách diễn giải của William James (1842-1910), điều khiến Peirce không hài lòng như ta đã nói. Lý thuyết theo Pierce tinh vi hơn Thực Dụng kiểu James và chỉ được đánh giá đúng mức mới đây.

James là người vùng New England, và là tín đồ Tin Lành rất chuẩn mực. Điều này là tính cách của ông, dẫu ông là một tư tưởng gia theo chủ nghĩa tự do và rất hoài nghi đối với những giáo điều chính thống. Không như Pierce, James là Giáo sư Tâm lý học ở Harvard. Trước tác “Nguyên tắc Tâm lý học” của ông xuất hiện năm 1890 và cho đến ngày nay vẫn thuộc dạng kinh điển. Triết học với ông là phụ, tuy nhiên ông được coi là một khuôn mặt người Mỹ nổi bật trong đám triết gia. Như một con người, ông hào phóng và tử tế, ủng hộ nền dân chủ chứ không như em ông là nhà văn Henry James. So sánh với triết lý Thực dụng của Pierce, tư duy duy của James không sâu bằng, nhưng với cá tính mềm mỏng và vị trí nghề nghiệp, ông tạo được một ảnh hưởng lớn rộng trong triết học ở Mỹ quốc.

Hai điểm quan trọng trong triết học của James. Thứ nhất, là vai trò của ông trong việc phổ biến thuyết Thực Dụng. Thứ nhì, là những triển khai liên hệ với cái ông gọi là Thực nghiệm Cực đoan (radical empiricism). Trong một luận đề in năm 1904 mang tên ‘Ý thức có tồn tại không ?’, James chứng minh rằng tính nhị nguyên truyền thống của chủ thể và khách thể là chướng ngại để xây dựng một nhận thức học chấp nhận được. Theo ông, ta phải bỏ đi khái niệm tự-ý thức như cách thế tồn tại của một khách thể trong thế giới vật chất. Cặp chủ thể-khách thể trong nhận thức có vẻ là một thứ méo mó của khuynh hướng duy lý, và chẳng bao giờ là một sự thật thực nghiệm. Chúng ta không có gì vượt được và ở trên cái James gọi là ‘kinh nghiệm thuần túy’ (pure experiences). Và chúng là những điều cụ thể trong đời sống, tương phản với những tư duy trừu tượng ta có thể có. Quá trình tri thức thành ra kết hợp những tương quan của nhiều phần trong một kinh nghiệm thuần túy. Dù James không tiếp tục trên con đường tìm kiếm này, môn đệ của ông sau này thay thế lý thuyết nhị nguyên bằng cái ‘nhất nguyên trung tính’ (neutral monism), theo đó chỉ có một, và chỉ một cái tạo ra thế giới. Đó là kinh nghệm thuần túy. Ở đây, tính thực chứng cực đoan của James va chạm với thuyết Thực Dụng đã chối bỏ toàn diện tất cả những gì không có ý nghĩa thực tiễn trong đời sống. Nhưng kinh nghiệm nào? Với James, ông cho là những kinh nghiệm nhân bản. Người đồng thời với James ở Anh là F.C.S Schiller [4]cũng quan niệm như thế trong trước tác “Nhân bản”. Vấn đề là học thuyết trên cơ sở đó quá chật hẹp cho cả khoa học lẫn những ý niệm thông tục đã từng có những quan tâm lớn và rộng hơn. Người truy tìm chân lý phải tự coi mình là một thành phần của thế giới, một thế giới luôn vượt qua tầm nhìn anh ta. Nếu không thế, chẳng còn ý nghĩa nào cho việc truy tìm này. Và nếu như ta là cái hệt như thế giới cho phép mà không thay đổi được gì, ta sao lại không ngồi yên để nhìn mây nước cuốn trôi. James đúng khi phê phán thuyết nhị nguyên, nhưng lý thuyết về kinh nghiệm thuần túy của ông không thể giải đáp được những vấn đề ông đặt ra.

Về câu hỏi tổng quan giữa Duy Lý và Duy Nghiệm, chúng ta phải nhắc đến một sự phân biệt mà James nhấn mạnh. Theo ông, triết thuyết Duy Lý nhấn mạnh phần trí tuệ quá nhiều so với phần vật chất, những người theo thuyết này mang cách thế lạc quan và truy lùng sự đơn nhất, thiên vị nhận thức diễn dịch so với nhận thức qua kinh nghiệm. Ngược lại, học thuyết Duy Nghiệm với đối tượng là thế giới vật chất; những kẻ theo thuyết này bi quan, không tin tính đơn nhất mà tin vào những khuynh hướng khu biệt, và cho là kinh nghiệm quan trọng hơn tư duy trong nhận thức. Trong luận giải có tên là “Thực Dụng” (Pragmatism) in năm 1907, James giải thích lý thuyết của ông và chỉ ra hai khía cạnh. Trước tiên, Thực dụng là một phương pháp mà James xếp vào cách thế Duy nghiệm. Một phương pháp tự nó không nhằm đạt tới một kết quả đặc biệt nào mà chỉ là cách tiếp cận thế giới. Điều quan trọng mà phương pháp này chỉ ra là những khu biệt nào mà không mang đến những sai lệch thực tế (practical difference) đều vô nghĩa. Cùng với quan điểm này là nhận định chẳng có một vấn đề nào có một giải pháp tối hậu. Điều này là điều những triết gia Duy nghiệm chấp nhận, và chính Pierce cũng đã nêu lên. Nếu chỉ có thế, James đúng khi ông cho rằng học thuyết Thực Dụng chẳng qua chỉ là tên mới cho một cách tư duy rất cũ.

Từ nguyên tắc nói trên, James trượt vào những nhận thức rất đáng ngờ, cho rằng phương pháp Thực dụng đưa đến nhận định rằng những lý thuyết khoa học là công cụ của hành động chứ không phải là câu trả lời cho những vấn đề ta tra vấn về thiên nhiên. Một lý thuyết không phải là mớ chữ thần kỳ mà nhà ảo thuật hô lên là có thể kiểm soát được thiên nhiên. Theo James, những người theo thuyết Thực Dụng phải soi xét từng chữ và tra hỏi giá trị thực (cash-value) của chúng. Từ điểm này, chỉ thêm một bước là ta đến định nghĩa của sự thật, là cái có những hậu quả tốt đẹp, theo phái Thực Dụng. Quan điểm công cụ của sự thật này sau cũng được Dewey [5] đề cao.

Ở đây, học thuyết Thực Dụng trở thành siêu hình học một cách đáng ngờ, và ta không lấy làm ngạc nhiên khi Pierce tìm cách tách mình ra khỏi trào lưu này. Bỏ qua chuyện khó khăn làm sao biết được hậu quả một cách thế nhìn, và nó có tốt đẹp hay không, ta nhận thấy có những hậu quả không thể đánh giá là tốt đẹp. Điều này được xác định một cách bình thường và không buộc phải theo phương pháp Thực dụng. James có vẻ ý thức điều này khi ông nhận rằng con người có tự do chọn những niềm tin nếu chúng đưa đến cho họ những hạnh phúc lợi lộc. Niềm tin tôn giáo là một thí dụ điển hình. Nhưng đây lại không là cách thế của những người có đức tin. Những người này không tin vì ước đoán những gì niềm tin mang đến cho họ. Ngược lại, chính vì tin mà họ đạt hạnh phúc.

Ngay từ sơ thời của triết học Hy Lạp, toán học đã là bộ môn được chú trọng. Nhưng tiến bộ trong hai trăm năm vừa qua cực kỳ ấn tượng. Toán vi phân hình thành với Lieibniz và Newton đã dưa toán học đến những đột phá thần kỳ trong thế kỷ 18. Tuy nhiên, cơ sở Lôgíc của Toán học vẫn chưa được thấu hiểu, và cách xử dụng Toán có khi dựa trên những khái niệm không được vửng vàng.

Phân tích toán thời đó xây dựng trên khái niệm ‘vi phân’ (infinitesimals), khái niệm chiếm giữ một vai trò chính yếu trong thuật toán (calculus) mới được phát kiến. Vi phân là một định lượng không hữu hạn, không có kích thước, và tiến đến cái vô cùng nhỏ (vanishingly small). Đây là thể loại định lượng dùng để xác định đạo hàm và nguyên hàm. Vi phân như vậy là phần cơ bản, liên hệ tới khái niệm đơn vị của Pythagoras, và cũng là cách được nhận thức tương tự. Ta đã thấy Zeno phê phán Pythagoras. Thời hiện đại, những phê phán của khái niệm vi phân cũng đến từ những triết gia. Berkeley có lẽ là người đầu chỉ ra những khó khăn của khái niệm vi phân, và Hegel cũng đóng góp ít nhiều vào sự phê phán khái niệm này. Nhưng những nhà Toán học không ngừng ở phê phán, và tiến lên khai triển những bước mới của Toán học. Đó là một cái may cho chúng ta. Một bộ môn thời phôi thai nếu phải chịu đựng sự ngặt nghèo của phê phán đến độ triệt tiêu mọi tưởng tượng thì chỉ có thể dần dần tiêu vong. Ở giai đoạn đầu một bộ môn. phải có một số tự do tối thiểu để thúc đẩy sự phát triển bộ môn đó, ngay cả khi có những yếu tố tư duy có thể tạo ra nguy cơ lầm lẫn.

Nhưng rồi đến lúc một bộ môn buộc phải có những tiêu chuẩn nghiêm túc để có thể phát triển. Trong toán học, vào đầu thế kỷ 19, người khởi động là Cauchy, nhà toán học người Pháp, đã giải trình một cách có hệ thống lý thuyết về giới hạn. Cùng với công trình của Weierstrass ở Đức, chúng ta không còn cần đến khái niệm vi phân. Bài toán tổng quát về tính liên tục và số vô cực nằm sau những công trình vừa kể được nghiên cứu lần đầu bởi Georg Cantor .

Khái niệm vô cực đã gây phiền hà từ thời Zeno với nghịch lý mang tên ông. Nhớ lại cuộc chạy thi giữa Archilles và con rùa, ta có thể nhắc lại: ở mọi nơi Archilles đến, con rùa đã từng qua. Tại mỗi thời điểm, hai đấu thủ như vậy đã cùng vượt một số nơi, nhưng Archilles lại chạy dài hơn. Điều này ngược lại với khái niệm theo đó cái toàn thể lớn hơn từng phần một. Nhưng khi ta đối mặt với một tập hợp vô hạn thì không phải vậy. Lấy thí dụ một chuỗi những số nguyên dương, có chẵn và lẻ, là một tập hợp vô hạn. Bỏ đi tất cả những số lẻ, ta tưởng cái còn lại là một nửa cái tập hợp đầu. Nhưng thật ra, những số chẵn còn lại vẫn bằng số của tất cả những con số ban đầu. Kết luận này có thể chứng minh dễ dàng. Viết chuỗi những số tự nhiên, rồi sau viết chuỗi mà mỗi số bằng hai lần nhưng số trong chuỗi đầu. Mỗi số (hay thành tố) trong chuỗi đầu có một số tương ứng trong chuỗi sau, hay theo ngôn ngữ toán, giữa hai chuỗi có một ánh xạ 1-1 (one-one correspondence). Hai chuỗi như vậy có cùng số những thành tố. Với tập hợp vô cực trong trường hợp này, một phần có thể có tất cả những thành tố của toàn thể. Và đây là tính chất Cantor dùng để định nghĩa một tập hợp vô cực.

Trên cơ sở này, Cantor triển khai cả một lý thuyết các số vô hạn. Đặc biệt, ông chứng minh rằng có một lượng vô hạn những con số kích cỡ khác nhau, mặc dù dĩ nhiên người ta không được phép nghĩ những số này như cách chúng ta nghĩ về các số thường. Một thí dụ cho sự vô hạn lớn hơn sự vô hạn của chuỗi các số tự nhiên là chuỗi các số thật, hay continuum, như nó được gọi. Giả thiết tất cả các phân số thập phân (decimal fraction) được xếp theo thứ tự độ lớn. Bây giờ chúng ta tạo ra một số thập phân mới bằng cách lấy số đầu tiên của số thập phân đầu, số thứ hai của số thập phân thứ hai, vân vân, và cộng mỗi số thêm một. Số thập phân mới này khác với tất cả những số thập phân trong danh sách mà chúng ta đã giả thiết đầy đủ. Điều này chứng minh rằng một danh sách đếm được không thể tạo được từ ban đầu. Số của các phân số thập phân là vô hạn ở mức độ cao hơn số các số tự nhiên. Đó là cái được gọi là phương pháp chéo cạnh (diagonal process). Nó sẽ cũng có một vai trò quan trọng trong toán Lôgíc.

Một câu hỏi thiết thân khác được đặt ra cho những nhà Lôgíc học vào cuối thế kỷ 19. Tham vọng từ buổi ban đầu của những nhà toán học là chứng minh toàn bộ khoa học của họ như một hệ thống của các phép diễn dịch được suy từ một khởi điểm duy nhất từ một số tối thiểu các khởi điểm. Đây là một trong những mặt của cái Thiện của Socrate. Trước tác ‘Các nguyên tố’ (Elements) của Euclide cho ta một thí dụ của đòi hỏi này, mặc dầu công trình của ông không hoàn hảo.

Trong trường hợp số học, một số nhỏ định đề mà từ đó mọi thứ còn lại có thể được suy ra, là đề xuất từ nhà Toán học người Ý Peano. Có năm định đề cơ bản. Tổng hợp với nhau, chúng có thể xác định lớp các cấp số mà từ đó chuỗi số tự nhiên tạo thành một thí dụ. Ngắn gọn, các định đề quy định rằng cái kế tiếp[6] (successor) của một con số cũng là một con số (number), và mỗi số chỉ có độc nhất một cái kế tiếp mà thôi. Chuỗi số bắt đầu từ 0, là một con số, nhưng tự nó không phải là cái kế tiếp của một con số. Cuối cùng, có một phép qui nạp mà qua đó những tính chất tổng quát thuộc về tất cả các thành viên của chuỗi số được thiết lập. Nguyên tắc này được áp dụng để có: nếu một tính chất cho trước của bất cứ số ‘n’ cũng thuộc về cái kế tiếp của nó, và thuộc về số 0, thì nó thuộc về tất cả các con số của chuỗi số đó.

Từ thời Peano, một sự quan tâm mới về những vấn đề xây dựng nền tảng của toán học nảy sinh. Trong vấn đề này có hai trường phái. Thứ nhất, có những người chuộng ‘hình thức’ (formalist) cho rằng tính nhất quán là quan yếu, và thứ hai, những người thiên về ‘trực giác’ (intuitionist) đòi hỏi nhà toán học phải chỉ ra được điều mình muốn nói là cái gì. Một đặc điểm chung của các sự phát triển toán học là sự quan tâm của họ đến ngành Lôgíc học. Ở đây, thật sự toán và Lôgíc bắt đầu hợp nhất ở các vùng biên. Từ thời Kant, người coi Lôgíc đã phát triển hoàn tất (complete), nhiều thách thức lớn đã là đối tượng trong hoạt động nghiên cứu lý thuyết toán Lôgíc. Đặc biệt, nhiều dạng xử lý các lý giải về Lôgíc với sự giúp đỡ của các công thức toán học được phát triển. Cách tiếp cận mới đầu tiên và có hệ thống với Lôgíc học là của Frege (1848-1925), nhưng công trình ông lại hoàn toàn bị quên lãng 25 năm liền cho đến khi tôi (B.Russell) để ý đến. Trên quê hương ông (Đức), một thời gian dài Frege chỉ được biết đến như một giáo sư toán học khó hiểu. Chỉ những năm gần đây sự quan trọng của ông như một triết gia mới được công nhận.

Một câu hỏi thiết thân khác được những nhà Lôgíc học đặt ra vào cuối thế kỷ 19. Tham vọng xưa đến nay của những nhà toán học là xây dựng bằng phương pháp diễn dịch từ một điểm khởi đi càng cần ít giả thiết càng tốt. Đây là một khía cạnh của sự Thiện theo Socratse. Trước tác “Elements” của Euclide cho ta một thí dụ, mặc dầu ông không thành công hoàn toàn.

Trong số học, một số định đề từ đó toàn bộ kiến thức có thể suy diễn đến từ nhà Toán học người Ý Peano. Những khái niệm cơ bản từ đó ta có thể xác định chuỗi số tự nhiên như một thí dụ. Định đề thứ nhất, cái theo sau (successor) một con số cũng là số, và mỗi số chỉ độc nhất có một cái theo sau nó. Chuỗi số bắt đầu từ 0, không phải là cái theo sau bất cứ gì. Từ đó, ta dùng phép qui nạp Toán học để tìm ra tính chất tổng quát của mọi yếu tố trong chuỗi số: nếu một tính chất của một số ‘n’ cũng là tính chất của số theo sau nó và của số 0, tính chất này đúng cho mọi số trong chuỗi số đó.

Từ thời Peano, người ta đi tìm cơ sở xây dựng Toán học. Ở đây, có 2 trường phái. Thứ nhất là những người ‘hình thức’ (formalist) cho rằng tính nhất quán là quan yếu, và thứ nhì, những người thiên về ‘trực giác’ (intuitionist) đòi hỏi nhà toán học phải chỉ ra điều mình nói liên hệ đến gì. Một điển chung của những triển khai Toán học là quan tâm đến Lôgíc. Ở điểm này, toán và Lôgíc bắt đầu một cuộc hội nhập còn phôi thai. Từ thời Kant, người coi Lôgíc đã toàn túc (complete), có nhiều nghiên cứu được đề xuất. Đặc biệt là có những người tìm cách biểu trương Lôgíc bằng những công thức Toán, và luận giải mới này là công trình của Frege (1848-1925) bị quên lảng liền 25 năm cho đến khi chính tôi (tức B.Russell) phát hiện. Ngay trên quê hương ông, Frege không tiếng tăm, và là một anh giáo sư Toán chẳng ai biết đến. Chỉ những năm gần đây người ta mới xác nhận sự quan trọng của ông như một triết gia, và một nhà Toán học.

clip_image008

G. Frege

Toán Lôgíc của Frege có từ 1879. Năm 1884, ông in “Cơ sở của Số học” (Foundation of Arithmetic) trong đó ông đề nghị một phương pháp sát sườn hơn cách thế của Peano mà những định đề tiên khởi không thoả mãn hết được những đòi hỏi Lôgíc. Để giải quyết vấn đề này, Frege trình bày những định đề trên như hệ quả Lôgíc của hệ thống biểu tượng (symbolic system) của Peano. Tính tùy tiện được vạch ra và ta thấy rõ Toán thuần túy chính là sự nối dài của Lôgíc. Đặc biệt, rất cần thiết phải suy ra từ định nghĩa Lôgíc thế nào là một con số. Kéo Toán học về Lôgíc thật ra cũng đã nằm ẩn trong những định đề Peano đã được đúc kết bởi hai khái niệm ‘con số’ và ‘cái theo sau nó’. Khái niệm thứ hai là một yếu tố Lôgíc, và để có một ngôn ngữ Lôgíc thuần nhất, ta cần cho khái niệm thứ nhất một nội hàm Lôgíc như Frege đã thử. Cách ông làm rất gần với những đề xuất của Whitehead (1861-1947) và Russell (1872-1970) trong “Nguyên tắc Toán học” (Principia Mathematica). Trong trước tác này, con số là lớp lang (class) của mọi lớp tương tự với chính lớp lang đó. Như vậy, mọi lớp của 3 vật thể là một ví dụ của số 3, và chính số này là lớp lang của mọi lớp tương tự. Về một con số nào đó, nó thuộc lớp tất cả những con số đơn biệt.

Một hậu quả của định nghĩa trên là ta không thể cộng những con số. Trong khi ta có thể cộng 2 quả táo vào 3 quả cam để có 5 trái cây, ta không thể cộng lớp 3 vào lớp 2 một cách chung chung. Nhưng đây cũng chẳng thật mới gì vì Plato cũng từng nói số là cái không cộng vào nhau được.

Nghiên cứu toán khiến Frege đi đến xác lập sự phân biệt giữa ý nghĩa và tính tham khảo (reference) của một mệnh đề. Điều này xuất phát từ yêu cầu đáp ứng rằng các phương trình không chỉ là những sự lập lại trống rỗng. Hai vế của một phương trình có chung một tham khảo, nhưng có hai ý nghĩa khác nhau. Với tư cách là hệ thống biểu tượng Lôgíc, công trình của Frege không có mấy ảnh hưởng, một phần chắc chắn vì những ký hiệu rắc rối của ông.

clip_image010

A.N. Whitehead

Hệ thống biểu tượng trong ‘Các nguyên tắc Toán học’ được lấy từ Peano tỏ ra dễ thích ứng hơn. Từ đó trở đi, một số lớn các ký hiệu đã được đưa vào sử dụng trong ngành toán Lôgíc. Một trong những ký hiệu quan trọng nhất trong số đó đã được phát triển bởi trường phái toán học Ba Lan nổi tiếng của các nhà Lôgíc học nhưng bị giải tán sau Thế chiến II. Tương tự, các cải tiến đáng kể được thực hiện cả về mặt ký hiệu lẫn về số lượng của các tiên đề cơ bản của hệ thống (toán Lôgíc). Nhà Lôgíc học Mỹ Sheffer đã đưa ra một hằng số (constant) Lôgíc duy nhất cho phép từ đó thiết lập phép tính mệnh đề (propositional calculus) [7]. Nhưng đây là những vấn đề đòi hỏi kỹ thuật cao nên chúng ta không thể bàn tiếp chi tiết ở đây.

Toán Lôgíc, xét về mặt thuần tuý hình thức, không còn là mối quan tâm như thế của những triết gia sau này, và chỉ được nghiên cứu bởi những nhà toán học, mặc dù dĩ nhiên, nó là một loại toán học rất đặc thù. Điều đáng quan tâm của triết gia là những vấn đề nảy sinh từ các giả thiết tổng quát về hệ thống biểu tượng, và sau là vận hành của chúng. Từ đó, họ truy tìm những kết luận nghịch lý đôi khi xảy ra trong quá trình xây dựng một hệ thống biểu tượng.

Một trong số những nghịch lý này là khái niệm con số trong ‘Principia Mathematica’. Khái niệm “lớp của tất cả các lớp” là nguồn gốc của nó. Bởi vì rõ ràng lớp của tất cả các lớp tự nó là một lớp, và do đó thuộc về lớp của tất cả các lớp; do đó nó chứa chính nó như một trong những thành tố. Dĩ nhiên, có nhiều lớp khác không có tính chất này. Lớp của những người bầu phiếu tự nó không hưởng các quyền lợi của phổ thông đầu phiếu. Nghịch lý lúc đó xuất hiện khi chúng ta xem lớp của tất cả các lớp không là thành viên của chính chúng.

Câu hỏi của chúng ta là lớp này có phải là một thành viên (phần tử) của chính nó hay không. Nếu chúng ta giả thiết rằng nó là thành viên của chính nó, thì nó không phải là một trường hợp (instance) của một lớp chứa đựng chính nó. Nhưng để là thành viên của chính nó, nó phải là một loại được xem trước tiên, nghĩa là không phải là một thành viên của chính nó. Nếu ngược lại, chúng ta giả thiết rằng lớp được xem xét không phải là thành viên của chính nó, thì nó không phải là một trường hợp của một lớp bao gồm chính nó. Nhưng để không phải là thành viên của chính nó, nó phải là một trong những lớp trong lớp mà câu hỏi đầu tiên đã đặt ra, và như thế, nó là một thành viên của chính nó. Trong cả hai trường hợp chúng ta đều đạt đến một mâu thuẩn.

clip_image012

B. Russell

Khó khăn có thể được giải toả nếu chúng ta ghi nhận rằng người ta phải đối xử các lớp trên cơ sở hoàn toàn bình đẳng như lớp của các lớp, bình thường như khi chúng ta nói về con người trên bình diện quốc gia. Lúc đó rõ ràng rằng chúng ta sẽ không nói về các lớp là các thành viên của chính chúng một cách láu lĩnh như chúng ta đã làm để dẫn đến nghịch lý. Những khó khăn liên quan đến các nghịch lý từng được giải quyết bằng nhiều cách, và không có một sự đồng thuận nào đến nay đã đạt được. Nhưng vấn đề này đã làm cho triết gia thêm một lần nữa ý thức về nhu cầu nghiên cứu cẩn thận về cách thức mà các câu (sentences) được xây dựng, và các từ ngữ (words) được dùng.


[1] William James (1842-1910 ) là nhà Tâm lý học đầu tiên ở Mỹ, có nhiều tác phẩm về Tâm lý, Tôn giáo, Huyền nhiệm, và Triết lý Thực dụng.

[2] “Sự thật là hành động làm ra nó”, xem chương 7 về triết học của Vico.

[3] Ng. dịch không dịch được chữ này! Abduction là một điều luận ra từ cứ liệu mô tả một hiện tượng đến giả thiết ta dùng để giải thích hiện tượng đó. Pierce cũng gọi đó là phỏng đoán, chẳng hạn A đến từ B, tức A là điều kiện đủ (hoặc gần như đủ) cho B nhưng không là điều kiện cần. Ví dụ ta bảo ‘vải gai bị ướt’. Nếu ‘đêm qua trời mưa’ chẳng có gì ngạc nhiên khi vải gai bị ướt. Với lý luận abduction, khả năng ‘đêm qua trời mưa’ giả thiết hợp lẽ.

[4] F.C.S. Schiller (1864-1937) đưa ra một triết lý rất Thực dụng theo kiểu James. Ông học ở Oxford, và sau một thời gian ngắn ở đại học Cornell, ông quay về giàng dạy ở Oxford. Cuối đời, ông dạy ở đại học Southernn California, được biết như triết gia nhưng sau thì bị quên lãng.

[5] J. Dewey (1859-1952) là một trong những người đầu triển khai thuyết Thực Dụng, đóng góp trong bộ môn Tâm lý và Giáo dục, và có tác động lớn lên những cải cách giáo dục ở Mỹ.

[6] Nói chữ, là ‘hậu tập’.

[7] Trong hệ thống toán Lôgíc, một mệnh đề được suy ra từ cách kết hợp hình thức những công thức suy diễn từ các định đề. Công thức cuối, gọi là định lý, được xem như đưọc chứng minh qua phép suy diễn đó.